In this study we prove the pure discrete property of the spectrum and found the asymptotic expression of N
(λ) the number of eigenvalues < λ ( λ > 0 ) when λ → ∞ of Loperator in space L2(0,∞;H) . L operator
is formed by + Σ − + < < ∞ = y P (x)y(3 j) Q(x)y , 0 x j2j 1
IV differential expression with boundary conditions y (0) by(0) 0y (0) ay (0) 0′′′ − =′′ − ′ = . Here H is a separable Hilbert space, a,b are real constants, the operator valued functions
Q(x) , Pj(x) (j = 1,2) are defined in the H Hilbert space and satisfy the following conditions Q* (x) = Q(x) ≥ I ( I is the unit operator in H) , ∞ Q−1(x) ∈ σ , P (x)Q 4 (x) c (j 1,2 c const. 0; 0).

Bu çalışmada H ayrılabilir Hilbert uzayı olmak üzere L2(0,∞;H) Hilbert uzayında + Σ − + < < ∞= y P (x)y(3 k) Q(x)y , 0 x j2 j 1
IV diferansiyel ifadesi ve y (0) by(0) 0 y (0) ay (0) 0 ′′′ − = ′′ − ′ =
. sınır koşulları ile oluşturulan L operatörünün spektrumunun saf ayrık olduğu ve L nin λ > 0 sayısını aşmayan özdeğerleri sayısı N(λ) nın λ → ∞ iken asimtotik ifadesi bulunmuştur. Burada a,b reel sabitler, Q(x ); Q* (x) = Q(x) ≥ I (I, H da birim operatör), ∞ Q−1(x)∈ σ ve P (x)Q 4 (x) c 1 j < − +ε (j=1,2; c = sbt.>0, ε > 0 ) koşullarını sağlayan H da dönüşüm yapan operatör değerli fonksiyonlardır.